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Indices granulométriques et lois de distributions

Statistical distributions and grain-size texture
Jean-Luc Mercier
p. 379-392

Résumés

L’analyse granulométrique s’appuie souvent sur la loi Laplace-Gauss. Mais cette loi symétrique a été utilisée systématiquement sans justifications sédimentologiques. À l’opposé, R.A. Bagnold (1937) a montré l’intérêt de lois asymétriques ; ses arguments ont été repris et étendus aux lois hyperboliques, Log-hyperboliques, Log Laplace et Log Laplace asymétriques. Dans cette note, nous montrons la signification et l’utilité des lois asymétriques en sédimentologie.

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Notes de la rédaction

Article soumis le 12 mars 2012, accepté le 12 octobre 2013.

Texte intégral

L’auteur remercie les collègues strasbourgeois et les relecteurs qui ont apporté leurs observations à ce texte.

Introduction

1Les probabilités et les distributions statistiques n’ont pas été inventées pour la sédimentologie ; à l’opposé, c’est aux géomorphologues d’adapter à leurs problèmes et d’améliorer les lois utilisées dans d’autres disciplines. Les indices granulométriques calculés sur des échantillons de sédiments meubles (galets-sables-limons-argiles) sont des outils qui doivent aider à confirmer-infirmer ou préciser des hypothèses qui sont nées sur le terrain. Loin d’être des outils désuets, les indices et la recherche sur les relations entre distributions statistiques et sédiments sont en renouvellement. Dans ce texte, il n’est pas tenu compte de la variété d’acquisition des données granulométriques (tamisage, vitesse de sédimentation, absorption laser, diffraction, analyse d’images…), qui toutes donnent des résultats différents lorsqu’elles sont appliquées au même échantillon. Il ne sera pas discuté non plus de l’intérêt ou non de réaliser l’analyse des fractions sableuses, ou des sables et fines, ou des fines aux galets : des approches globales sur la sédimentation et la granulométrie existent (Rivière, 1977 ; Reid et Dunne, 1996 ; Bunte et Abt, 2001) et ne seront pas abordées ici.

2Ceci posé, l’étude de la granulométrie des sédiments peut se faire de plusieurs manières. L’approche probabiliste se fait en s’appuyant sur des distributions théoriques. L’approche empirique se fait avec le calcul de coefficients ou d’indices mesurés sur une courbe granulométrique cumulée. L’approche thématique à la fois physique et statistique est en plein développement. L’observation d’un tas de sable impose à l’évidence qu’un échantillon contienne un nombre (très grand mais inconnu ≈ infini) de grains de sable, il est donc immédiat de vouloir appliquer la théorie des grands nombres à cet objet d’étude ; de ceci découle l’utilisation de la loi Laplace-Gauss dite Normale et de ses moments. Jusqu’aux années 70, le calcul des moments était fastidieux mais réalisé à la main car un nombre limité de classes était utilisé. De plus, les courbes granulométriques ne semblaient pas toujours ni uni-modales, ni symétriques : ces arguments ont conduit divers auteurs (Trask, 1930 ; Inman, 1952 ; Folk et Ward, 1957 ; Cailleux, 1961 ; Friedman, 1961) à proposer des indices semi-empiriques qui devaient à la fois remplacer les moments statistiques difficilement calculables et mieux rendre compte de courbes granulométriques complexes (asymétriques, multimodales...). Ils ont donc développé des coefficients qui ont le même rôle que les moments. La troisième phase est venue de l’observation expérimentale et de terrain qui a donné l’intuition à R.A. Bagnold (1937) de rechercher les processus physiques sous-jacents aux lois statistiques et d’utiliser des lois de distribution différentes de la loi Normale. Ceci a ouvert la voie au développement de la famille des lois hyperboliques, Log hyperboliques, de Laplace et Log Laplace asymétrique.

3Ce sont ces derniers points qui vont être illustrés ici. On montrera que les lois statistiques ne sont que la description numérique de courbes granulométriques : elles n’approchent que très rarement les processus physiques et de nombreuses questions restent à résoudre.

La loi de Laplace-Gauss

  • 1 P.S. Laplace a publié la 1ere loi des erreurs en 1774 et la seconde en 1778. Kotz et al. (2001) « i (...)

4Se représenter le plus simplement une population de grains de sables, c’est l’assimiler à une distribution statistique. La distribution (LG) Laplace-Gauss1 (Normale) est la plus utilisée. Cette fonction de distribution comporte deux paramètres : la moyenne (µ) et la variance (σ2). La fonction de densité de probabilité de la loi de Laplace-Gauss s’écrit :

5Cette fonction a une forme en cloche, elle est symétrique par construction, la médiane et le mode se confondent avec la moyenne. Numériquement, cette courbe est caractérisée par ses quatre moments : la valeur centrale (espérance mathématique), la dispersion (variance), puis la forme de la distribution (asymétrie et aplatissement).

Moyenne, Variance, Asymétrie (skewness), Aplatissement (kurtosis)

6L’espérance mathématique E(x) = µ ; la variance σ2 = E ((x - µ)2) est une mesure de la dispersion autour de µ, σ étant l’écart type. Les deux autres moments (centrés) s’écrivent : µk = E [(x - µ)k[, avec µ1 = 0, µ2 = σ2 (x), l’asymétrie ϒ = µ3/ σ; lorsque ϒ 1 = 0, la courbe est symétrique, ϒ 1 > 0 indique que le pic se trouve dans les petites tailles et lorsque ϒ 1 < 0, le pic est dans les grandes tailles. L’aplatissement a pour forme ϒ 2 = µ44 et ϒ 2 est toujours > 1 et ϒ 2 ≥ 1 + (ϒ 1)2. Si ϒ2 = 3, alors la courbe est de type Laplace-Gauss (LG), ϒ 2 > 3 indique que la courbe est plus pointue que la LG et une courbe plus plate prend les valeurs ϒ 2 < 3. En sédimentologie, l’aplatissement ne mesure pas seulement la forme de la courbe : l’existence de ϒ 2 < 3 indique la présence de queues de distribution, i.e. un excès de fines ou de sables grossiers. Cette caractéristique, très fréquente dans les sédiments, peut signifier un dépôt en plusieurs phases ; cet aspect, longtemps négligé, est très important et justifie d’ailleurs les recherches les plus récentes. Lors de l’application de la loi de Laplace-Gauss en sédimentologie, le concept de tri granulométrique est associé à la vitesse et à la compétence d’un fluide : sur l’histogramme, il s’agit des classes de taille entourant le mode, celles-ci ne décrivent qu’un seul et même processus sédimentaire.

La loi Log-Normale

7C’est la loi d’une variable X > 0 telle que le logarithme népérien suive une loi de Laplace - Gauss : Ln X ~ LG(µ,σ). Sa densité s’obtient par un changement de variable avec µ la moyenne logarithmique

8et σ2 la variance logarithmique. E(X) = exp (µ + σ2/2) ; V(X) = (exp (2µ + σ2)) (exp σ2 – 1).

  • 2 Gradué en x en logarithme du diamètre et en y en distribution gaussienne cumulée.

9Les distributions de tailles peuvent être exprimées en poids des particules ou en fréquence de tailles (diamètres). De telles distributions ont la même variance logarithmique et dessinées sur un graphe log-normal2 elles donnent deux droites parallèles. Les paramètres sont décrits in tab. 1.

Tab. 1 – Equivalence diamètre-poids pour les lois gaussiennes et log-normales.
Tab. 1 – Relation diameter-weight for Gaussian and Log Gaussian laws.

Fréquences

Diamètre des particules

Poids des particules

Poids

LnGd(µ,σ2)

LnGp(µ,σ2)

Nombre

LnGd(µ - 3 σ2, σ2)

LnGp(µ - σ2, σ2)

10On peut passer des paramètres des distributions diamètres à ceux des poids par les relations suivantes : diamètre des particules = LnG (µ,σ 2) ; poids des particules = LnG (3µ + Ln(c), 9σ2). Dans laquelle c = π/6 lorsque les particules sont des sphères.

Les indices semi-empiriques

Les indices semi-empiriques obtenus graphiquement

11Ces indices sont le plus souvent lus ou calculés à partir d’une courbe granulométrique cumulée (semi-logarithmique), ils sont parfois lus sur des papiers « gaussiens ». Pour étudier les indices, deux approches sont possibles, soit travailler en échelle ϕ = – log2 (diamètre en mm) avec l’inconvénient que les grandes tailles ont des valeurs négatives, soit travailler en fractions de classes millimétriques. Une fois ce choix fixé, force est de reconnaître que les auteurs de manuels n’utilisent pas les indices granulométriques pour construire leur argumentation mais pour « présenter » leurs résultats (cf. Selley 1992), ou parfois en parlent très peu (Goudie et al., 1981 ; Collinson et Thompson, 1988 ; Allen, 1997).

12Les distributions sont caractérisées : 1) par la médiane (d50) qui est la taille pour laquelle 50 % du poids est plus fin ; 2) la moyenne (dm = Σ (pi di) / 100) avec pi = le pourcentage en poids de chaque grain de la taille di (avec i classes) ; 3) l’écart type (σd = Σ pi (di - dm)2/100), ou σg = 0,5 (d50 / d16 + d84 / d50), mesure faite sur la courbe cumulée, avec d en mm. En échelle ϕ, les valeurs caractéristiques sont la moyenne ϕ m, la médiane ϕ 50, l’écart type (qui mesure le tri) σϕ= 0,5 (ϕ84 – ϕ16), l’asymétrie αϕ = (ϕm – ϕ50)/σϕ, l’aplatissement βϕ= (0,5 (ϕ95 - ϕ5) - ϕϕ ) / ϕϕ. Théoriquement, un échantillon est Gaussien (Normal) si, en termes d’échelle ϕ (distribution log-normale), on a : d10 = σϒ-1,3d50 ; d16 = σϒ1,0 d50 ; d84 = σgd50 ; d90 = σg1,3 d50.

13Sur ces bases, P.D. Trask (1930), D.L. Inman (1952), R.L. Folk et W.C. Ward (1957) et G.M. Friedman (1961) ont proposé une série d’indices. Plus récemment, G.P. Allen et al. (1972), R.L. Chambers et S.B. Upchurch (1979) et J.P.M. Syvitski (1984) ont proposé d’utiliser l’analyse factorielle et les analyses multi-variées. Ces travaux séparent en fait le temps des ordinateurs du temps des calculs manuels ; quelques exemples peuvent le montrer. La moyenne de R.L. Folk et W.C. Ward (ϕ16 + ϕ50 + ϕ84) / 3, est uniquement calculée sur 3 valeurs. L’indice d’aplatissement de Trask s’écrit (P75 – P25) / 2(P90 – P10) ; le numérateur et le dénominateur sont construits de la même manière, i.e. écart entre deux valeurs complémentaires qui encadrent la moyenne. L’auteur aurait pu justifier d’autres couples de valeurs complémentaires. L’aplatissement de Folk et Ward est construit de la même manière mais l’écart principal est au numérateur : (ϕ95 + ϕ5) / 2,44 (ϕ75 – ϕ25).

  • 3 Les tableurs habituels (Excel, Gnumeric, Lotus 123, Open Office...) sont aptes au calcul des moment (...)

14En bref, les indices semi-empiriques « classiques », calculables manuellement sont des approximations des moments de la loi Laplace-Gauss, ils ont un intérêt « historique » et peuvent être utilisés si l’on souhaite comparer des travaux récents à des résultats anciens3.

L’indice d’hétérométrie Hé de André Cailleux

15A. Cailleux (1961) avait noté que le coefficient de Trask (Sorting index, So), comme les sI et sG de Folk et Ward (1957) étaient mal nommés car ils avaient des valeurs positives fortes pour des échantillons mal triés ! De plus, les indices empiriques sont centrés sur la moyenne et ne sont qu’une version manuellement calculable des moments de la loi Laplace-Gauss (cf. supra). A. Cailleux a donc proposé un indice Hé (hétérométrie) qui est mesuré à l’aide d’une réglette que l’on déplace manuellement sur la courbe granulométrique cumulée jusqu’à l’obtention (à l’œil) de la plus grande pente (Cailleux, 1961 ; Cailleux et Tricart, 1963). Cette réglette a une longueur égale à 25 % de l’axe des Y, contre 50 % pour So. Cet indice a deux avantages, il donne la plus grande pente (le tri) et les bornes entre lesquelles s’effectue le tri indépendamment de la moyenne ; son inconvénient est qu’il faut lire les tailles entre lesquelles est mesuré le Hé, et calculer manuellement la pente.

La méthode de Helga Besler

16H. Besler (1996) a proposé de travailler sur la courbe granulométrique cumulée mais en portant en ordonnée la dérivée première de la taille qu’elle appelle (dy / dx = % / dmm). En abscisse elle porte les tailles en échelle ϕ = – log2 (mm) en 6 classes (63, 125, 250, 500, 1 000, 2 000 µm). Ensuite, elle compare visuellement les courbes obtenues et les organise en une dizaine de catégories (Besler, 2008). L’interprétation a été faite au préalable sur le terrain. Dans le cas d’une courbe cumulée parfaitement gaussienne, le résultat donne une courbe symétrique en cloche. L’utilisation de l’échelle logarithmique accentue les asymétries vers les extrêmes. Si la courbe cumulée montre une asymétrie, celle-ci se lira sur la courbe dérivée. L’utilisation des tailles de tamis de Wentworth ou de l’échelle ϕ n’apporte que peu d’informations au résultat (Besler et Ritter 2010).

Indices granulométriques, moments et milieux de sédimentation

17Sans en faire une compilation exhaustive, il est évident que l’utilisation des moments et des indices semi-empiriques n’a eu que peu de succès (Tucker, 1988) et a été critiquée (Ehrlich, 1983). En effet, reproduire une courbe granulométrique gaussienne n’a aucun intérêt. Publier une courbe multimodale en a plus. Cartographier des paramètres individuels (les moments) peut montrer l’existence de gradients ; le plus souvent, ils indiquent une variation simultanée de la moyenne et de la variance (cf. les sédiments les plus fins sont les mieux triés). Mettre en relation les moments (ou les indices semi-empiriques) entre eux a un véritable intérêt bien que, parfois, les domaines de validité se recoupent. C’est ce qui a été fait par H.B. Stewart (1958) qui a dessiné les domaines d’existence des dépôts fluviatiles, des littoraux et de milieux calmes en associant asymétrie et écart-type.

18Suivant la même démarche, R. Passega (1964), dans un diagramme CM, met en relation la médiane (M) et le percentile le plus grossier (C) de la courbe granulométrique cumulée. Il associe ainsi le courant le plus violent à la particule la plus stable (C) ; lui permettant d’identifier des domaines d’existence et de les attribuer à la traction ou à différentes formes de suspension (Bravard, 1983 ; Arnaud-Fassetta, 1998). R.J. Moiola et D. Weiser (1968) ont travaillé la relation variance-asymétrie : les plages sont bien triées et ont une asymétrie négative ; les sables fluviatiles sont moins bien triés et ont une asymétrie positive ; les dunes sont plus fines que les plages et ont une asymétrie positive. En utilisant les moments, P.M.B. Landim et L.A. Frakes (1968) ont pu séparer les cônes de déjection des matériaux morainiques (tills). Aidé en cela par la présentation Log-Normale, la courbe cumulée a été divisée en 2 à 4 segments droits par G.S. Visher (1969) pour séparer non seulement les dynamiques (i.e., traction, deux saltations, suspension) mais aussi pour en faire des populations différentes. Cette méthode a eu des résultats divers et nous verrons plus loin qu’elle peut être améliorée. P.G. Sly (1978) a utilisé l’asymétrie et l’aplatissement pour séparer les dépôts littoraux des grands lacs : les plages sableuses (faible énergie) se caractérisent par un aplatissement négatif et une asymétrie souvent positive alors que les plages à galets (forte énergie) ont un aplatissement et une asymétrie positive de faibles amplitudes. C’est ce type d’approche, mêlant dynamiques sédimentologiques et caractéristiques statistiques : que nous proposons de développer ici.

De l’observation aux lois

  • 4 En géomorphologie, les pavages (pavement, armor layer, steinpflaster) donnent les ergs, les sandurs (...)

19Un sédiment mis en place par le vent ou par l’eau est un sédiment trié ; le courant d’air ou d’eau enlève les éléments les plus fins, créant une accumulation relative des autres grains appelée « pavage »4. Dans un écoulement, tous les grains ne partent pas du même point (de la même source) : certains grains arrivent avant d’autres, certains d’entre eux restent en transit (suspension) alors que d’autres sont piégés par des éléments plus grossiers, certains, enfin, se fragmentent sous les chocs et une majorité d’entre eux se dépose.

20Si ce type d’observation est vérifié, il n’y a pas de raison physique pour que la distribution statistique d’un échantillon soit symétrique et que les deux branches s’écartent régulièrement et symétriquement d’une moyenne/mode/médiane unique. La représentation des granulométries par une loi Gaussienne-Normale est donc vraisemblable mais c’est une approximation d’un cas plus général. Ce raisonnement a été émis et vérifié par R.A. Bagnold (1937) qui montre (fig. 1) un sable dunaire et une distribution gaussienne ayant les mêmes caractéristiques statistiques ; la fig. 1A montre la ressemblance visuelle et numérique entre les deux courbes. Les mêmes données, représentées en fonction du logarithme de la taille et du logarithme de la fréquence (fig. 1B), donnent un résultat très différent.

Fig. 1 – A : Une dune (trait continu) et une courbe gaussienne (pointillé) sont très proches. B : En fonction du logarithme des tailles et du logarithme des fréquences, les deux courbes sont très différentes.
Fig. 1 –A: Gaussian probability curve (dotted) and sand-dune (line) linear scale; we note few differences between the curves; B: Log-Log scale; the two lines intercept on one point µ and are separated from the dotted curve.

Fig. 1 – A : Une dune (trait continu) et une courbe gaussienne (pointillé) sont très proches. B : En fonction du logarithme des tailles et du logarithme des fréquences, les deux courbes sont très différentes.Fig. 1 –A: Gaussian probability curve (dotted) and sand-dune (line) linear scale; we note few differences between the curves; B: Log-Log scale; the two lines intercept on one point µ and are separated from the dotted curve.

D’après R.A. Bagnold (1937).
After R.A. Bagnold (1937).

  • 5 Travaillant dans une soufflerie, autour d’une trappe à sédiment, la « saltation » fait référence au (...)

21Signification : 1) en log-log (fig. 1B), la courbe gaussienne a une forme de parabole alors que la dune est formée par deux droites se recoupant en un point modal. 2) Aux valeurs extrêmes (min. et max.), les données des sables de dune s’éloignent de la courbe de Gauss. 3) Les deux segments de droites sont discontinus, ont des pentes différentes de signe opposé et mesurent donc des processus différents. 4) Malgré leur similitude visuelle apparente (fig. 1A), la loi de Gauss s’applique mal aux sables de la dune (fig. 1B). Cette observation a été poursuivie et vérifiée en soufflerie. R.A. Bagnold (1937) a montré que le point modal d’intersection des deux droites et les pentes des droites étaient différents suivant l’origine et la dynamique sédimentaire. Il a donné le nom de saltation et de creep5 aux processus inférieurs ou supérieurs au mode.

Les lois hyperboliques

Les lois hyperboliques et Log-hyperboliques

22O.E. Barndorff-Nielsen (1977) puis O.E. Barndorff-Nielsen et al. (1982) ont travaillé sur la déflation éolienne dans les dunes du Jutland, en reprenant l’observation de Bagnold dans laquelle la distribution des grains n’est pas log-normale mais semble plutôt avoir des extrémités exponentielles. Ils proposent de décrire ce type de distribution avec une loi hyperbolique. La fonction de distribution a quatre paramètres et le logarithme de la fonction de densité est une hyperbole (d’où le nom de distribution « log hyperbolique » donné par certains auteurs). Les tailles sont transformées en échelle phi : ϕ = – log2 (diamètre) ; certains auteurs utilisent une transformation supplémentaire (ψ= –ϕ), qui permet de ne pas avoir de nombres négatifs pour les sédiments dont les tailles sont supérieures à 1 mm. La fonction de distribution est représentée sur la figure 2 et s’écrit de la manière suivante :

  • 6 Cette appellation sera précisée plus tard.

23Dans laquelle les paramètres et les variables complémentaires ont la signification suivante : K1 = fonction de Bessel de troisième espèce et du premier ordre ; μ = premier paramètre de position, intersection des deux droites « pic géométrique, taille typique »6 ≈ « mode » ; δ = facteur d’échelle n’a pas d’interprétation particulière mais ζ = δ√ϕγ ; ϕ = la pente de l’asymptote de la partie gauche de la courbe ; γ = la pente de l’asymptote de la partie droite de la courbe : γ = position du mode = µ + δ (ϕ– γ) / (2√ϕ γ), position du « pic de la courbe » ; π = ½ (ϕ – γ)/√(ϕ – ϒ) = asymétrie de la fonction (π = 0 pour une fonction symétrique) ; τ = inverse du rayon de courbure de la fonction (τ élevé pour un petit rayon) ; l’aplatissement (kurtosis) et l’asymétrie (skewness) sont difficiles à calculer, on peut approcher l’asymétrie par χ = ((ϕ–γ) / (ϕ + γ)) ζ ; ζ = écart entre l’ordonnée de la courbe hyperbolique et l’intersection des asymptotes pour x = μ, c’est une sorte d’aplatissement (kurtosis) : ζ = (1+δ√(ϕγ))–1/2.

Fig. 2 – Interprétation géométrique de la loi hyperbolique (logarithme de la densité de probabilité en fonction du logarithme de la taille).
Fig. 2 – Parameters of the hyperbolic distribution (χ value against logarithm of probability density, geometrical interpretation).

Fig. 2 – Interprétation géométrique de la loi hyperbolique (logarithme de la densité de probabilité en fonction du logarithme de la taille).Fig. 2 – Parameters of the hyperbolic distribution (χ value against logarithm of probability density, geometrical interpretation).
  • 7 O.E. Barndorff-Nielsen et C. Christiansen (1988) précisent « χ and ξ express, respectively, the ske (...)

24Le domaine de variation de la loi hyperbolique est déterminé par les valeurs de γ et ξ ; c’est un triangle d’abscisse7 χ et d’ordonnée ξ. L’ordonnée ξ ≤ 0 est la limite de la loi Normale ; 0 < ξ < 1 domaine de validité de la loi Hyperbolique ; ξ ≥ 1 délimite le domaine de la loi de Laplace tronquée. Les abscisses χ < 0 décrivent des courbes dont la branche gauche est inclinée et la branche droite verticale. χ = 0 décrit une courbe symétrique. χ > 0 décrit des courbes dont la branche gauche est verticale et la branche droite inclinée. Lorsque ξ = 0 et χ = 0, la distribution hyperbolique tend vers une distribution normale dont la moyenne et la variance sont μ + (ϕ – γ) / (2τ2) et σ2 = τ–2. Lorsque l’ordonnée ξ = 1 et –1 < χ < 1, la distribution Hyperbolique tend vers une distribution de Laplace asymétrique ; dans ce cas, la courbe est réduite aux deux droites de pentes ϕ et ϒ qui se coupent en un point unique où μ et ν coïncident. Pour ξ = 1 et χ = –1.0 ainsi que pour ξ = 1 et χ = 1.0, on obtient une distribution exponentielle.

25La distribution hyperbolique a été utilisée pour décrire des dépôts éoliens (McArthur, 1987) et différencier des dépôts éoliens des littoraux ou alluviaux (Vincent, 1986 ; Hartmann, 1991), ainsi que pour décrire la répartition spatiale et temporelle de la taille des sédiments (Bagnold et Barndorff­Nielsen, 1980). La dynamique saisonnière et durant 11 ans d’un littoral a été faite par C. Christansen et S.D. Kristensen (1988). Un modèle d’érosion-sédimentation a été proposé par O.E. Barndorff-Nielsen et C. Christiansen (1988). La précision des percentiles de distribution hyperboliques et log hyperboliques de galets a été réalisée par D.J. Scott et J.K. Haschenburger (2005). La dynamique d’une plage des Landes a été étudiée par G. Masselink et al. (2008), montrant que les distributions log hyperboliques s’ajustaient mieux aux données que les distributions Log normales (cf. Bagnold et Barndorff-Nielsen, 1980 ; Fieller et al. 1984, 1992 ; Sutherland et Lee, 1994) et, parmi ceux-ci, que les échantillons de surface (0, –1 cm) s’ajustaient mieux que les échantillons de sub-surface (–5, –15 cm). Les échantillons de sub-surface approchaient mieux une loi Log Laplace symétrique que ceux de surface. Ni les uns ni les autres n’étaient particulièrement asymétriques. Par ailleurs, le modèle de O.E. Barndorff-Nielsen et C. Christiansen (1988) n’est pas applicable car les échantillons étaient tous en domaine d’accumulation.

NiG, des distributions hyperboliques aux comportements physiques

26La distribution Normale-Inverse Gaussienne (NiG) de O.E. Barndorff-Nielsen (1977) est une sous classe des distributions hyperboliques (fig. 3). NiG (α, β, δ, µ) a la forme :

27Dans laquelle K1 est une fonction de Bessel du 3e type, α > 0, β < | α | et δ > 0. L’équation NiG serait plus simple à calculer que l’équation Log hyperbolique. Si ϒ = √α2 – β2,alorsNiG a les expressions suivantes pour les moments mentionnés dans le tableau 2.

Tab. 2 – Relation entre les paramètres de la distribution Normale inverse gaussienne (NiG) et les moments.
Tab. 2 – Equivalence between parameters of Normal inverse Gaussian (NiG) distribution and the moments.

Moyenne

Variance

Asymétrie

Aplatissement

µ + (δβ / ϒ)

δα 2 / ϒ 3

3β / (α√δϒ)

3 (1 + 4β2 / α2) / (δϒ)

28NiG a des queues de courbes plus « épaisses » que les lois log hyperboliques, ce qui est souvent le cas pour les sédiments sableux.

Fig. 3 – Triangle hyperbolique. Domaine des paramètres invariants χ (asymétrie) et ξ (aplatissement). Pour χ = 0, distributions symétriques de Laplace à Gauss ; pour χ ≠ 0, asymétrie positive ou négative. « Érosion-sédimentation » adapté de O.E. Barndorff-Nielsen et C. Christiansen (1988) ; χ augmente avec le déficit en fines et diminue avec la sédimentation χ < 0).
Fig. 3 – The hyperbolic shape triangle. Domain of invariant parameters χ (skewness) and ξ (kurtosis). For χ = 0, symmetric distributions from Laplace to Gauss; for χ 0, positive or negative asymmetry. “Erosion-sedimentation” adapted from O.E. Barndorff-Nielsen and C. Christiansen (1988): χ increases with coarser sediment and decreases with sedimentation χ < 0.

Fig. 3 – Triangle hyperbolique. Domaine des paramètres invariants χ (asymétrie) et ξ (aplatissement). Pour χ = 0, distributions symétriques de Laplace à Gauss ; pour χ ≠ 0, asymétrie positive ou négative. « Érosion-sédimentation » adapté de O.E. Barndorff-Nielsen et C. Christiansen (1988) ; χ augmente avec le déficit en fines et diminue avec la sédimentation χ &lt; 0).Fig. 3 – The hyperbolic shape triangle. Domain of invariant parameters χ (skewness) and ξ (kurtosis). For χ = 0, symmetric distributions from Laplace to Gauss; for χ ≠ 0, positive or negative asymmetry. “Erosion-sedimentation” adapted from O.E. Barndorff-Nielsen and C. Christiansen (1988): χ increases with coarser sediment and decreases with sedimentation χ &lt; 0.

Adapté de M. Sørensen, 2006.
Adapted from M. Sørensen, 2006.

Un modèle physique associé à la distribution NiG

29Après la proposition du modèle de O.E. Barndorff-Nielsen et C. Christiansen (1988), M. Sørensen (2006) a proposé une interprétation sédimentologique de cette loi. Il débute son raisonnement par : « the expression for the probability density function [4] is not terribly transparent » ; néanmoins, cet auteur a donné une description et une interprétation physiques des paramètres et moments de la distribution NiG en reliant moyenne, variance, asymétrie, aplatissement à des caractéristiques physiques d’un modèle sédimentologique de sables.

30Celui-ci est construit sur des hypothèses probabilistes puis physiques : au départ, une extension de la loi de fragmentation des grains (Kolmogorov, 1941), une durée de transit différente pour chaque grain entre la source et son dépôt et, implicitement, un nombre différent de collisions, chocs, fragmentations, abrasion... Le temps de transfert est supposé être aléatoire ; dans ce cas, l’historique de chaque grain de sable est différent et aléatoire :

  • La taille d’un grain au temps t est égale au produit de N ruptures crées lors de D collisions par la taille du grain originel. Si Di = la fraction de grain cassé à la ie collision (0 < Di < 1), Bi est le Ln de la fraction non cassée Bi = Ln (1 – Di) ; B1, B2… sont des variables aléatoires d’un processus de Poisson. On appelle b1 la moyenne de Bi qui est < 0 (car 0 < Di < 1) et b2 la variance.

  • Une fois fragmentés, les grains se déplacent si a = distance à la source [L], ν = la vitesse moyenne des grains [LT-1] et a / ν = temps moyen de trajet de la source au dépôt [T] ; si λ = le nombre de ruptures par unité de temps [T-1], alors λ (a / ν) = nombre moyen de ruptures dues à des chocs entre grains et λ (a/ν) b1 = l’effet de fragmentation moyen entre la source et le dépôt.

  • La moyenne du logarithme de la taille = µ + aλb1 / ν ; celle-ci diminue lorsque la distance (a) croît et que le nombre de collisions qui cause des ruptures augmente, alors qu’il augmente lorsque la vitesse moyenne (ν) des grains augmente. De la même manière, la variance du logarithme de la taille = (a λ/ν) (b2 + (λσ2b12)/ ν2) est une fonction croissante de a, λ, σ2, b12, b22 et décroissante de la vitesse ν.

31Pour le sédimentologue, les relations entre les paramètres de la distribution NiG et les variables du modèle physique sont les suivantes : α = √(b12 / b22) + ν2 / (σ2 λb2) ; β = b1 / b2 ; δ = (a / σ) √λb2. L’auteur ajoute que l’équation NiG décrit une « forme » qui pourrait correspondre à d’autres combinaisons des paramètres physiques.

La loi Log Laplace asymétrique

32Lorsque P.S. Laplace (1774) écrit sa 1ère loi des erreurs, il utilise un raisonnement du type « si l’on fait une erreur sur une mesure, cette erreur croît lorsque l’on s’éloigne de cette mesure ». Par conséquent, les erreurs sont décrites par deux lois exponentielles mises dos à dos autour de la valeur centrale de la mesure, f(x) = ½ e-|x|, dont l’espérance et la variance sont : E(X) = 0 et V(X) = 2.

  • 8 S. Kotz et al. (2001) montrent qu’il a été publié 6 expressions numériques de cette loi asymétrique (...)

33Une variante est la loi log Laplace asymétrique8 (skew Log Laplace) qui a trois paramètres (α, β, μ) et qui a été proposée en sédimentologie par N.R.J. Fieller et al. (1984). Cette loi est formée par deux équations qui décrivent deux lignes droites en forme de « tente » qui se rejoignent en un point d’abscisse µ. Dans ce cas, les pentes des deux segments de droites sont appelées (α, β).

34Dans cette loi, il y a très clairement deux équations, l’une inférieure au mode, l’autre supérieure ; cela signifie qu’il y a au moins deux processus en cause et aussi deux populations. Les trois paramètres sont le mode (-∞ < µ < ∞) et les α > 0 et β > 0 qui mesurent les pentes des segments gauche et droite. Si α = β, alors la distribution est symétrique ; si α > β, cela signifie que la population fine est moins abondante du côté gauche de µ que du côté droit et inversement. Ce type de loi peut être assimilé à une loi hyperbolique dans laquelle δ tend vers 0. D’après N.R.J. Fieller et al. (1984), α, β et µ correspondent à 1 / ϕ, 1 / γ et µ de la loi hyperbolique. Dans ce cas, comme dans les cas hyperboliques, on utilise le logarithme de la taille des grains et l’on obtient la fonction de probabilité p(z) en remplaçant x par z = log x, (x > 0). La représentation graphique et l’interprétation se font en portant α, β ou α + β, ou α / β ou α2 + β2 en fonction de µ ; la combinaison de ces paramètres donne des résultats très voisins.

35Pour mesurer la qualité de l’ajustement, N.R.J. Fieller et al. (1992) ont proposé un test appelé Ncrit et construit sur une forme de χ2 : Ncrit = χ 2 / { Σ [ri – pi(θ)]2 / pi(θ)} dans laquelle la sommation Σ est faite sur les k classes granulométriques i, si m est le nombre de paramètres estimés (2 en log normale, 4 en log hyperbolique), le nombre de degrés de liberté calculé par (k – m –1), ri est le poids en % de la ie classe, pi est la probabilité estimée de la ie classe, θ contient les paramètres de la distribution. La valeur de Ncrit augmente avec la qualité de l’ajustement.

Quelques applications

36N.R.J. Fieller et al. (1984) ont appliqué la loi à la comparaison entre dunes et plage. Pour cela, ils ont représenté α et β en fonction de µ. E.C. Flenley et al. (1987) ont montré que l’on pouvait analyser des distributions multimodales avec des mélanges de distributions Log Laplace asymétriques. Puis N.R.J. Fieller et al. (1988) ont montré que le remplissage de grottes était mieux décrit par une distribution Log Laplace asymétrique que par des classiques moments. P.P. Hesse et G.H. Mac Tainsh (1999) ont montré que durant le Dernier maximum glaciaire (DMG), les vents et les flux de lœss entre l’Australie et la Nouvelle Zélande étaient plus causés par l’aridité du SE-Australie que par la force des vents. En l’absence d’autres références, les auteurs proposent que l’Australie soit l’une des sources de poussières de l’hémisphère sud.

37En analysant une coupe de lœss chinois d’une vingtaine de mètres d’épaisseur et contenant des paléosols, E.J. Parker et J. Bloemendal (2005) ont appliqué les lois Log-Hyperboliques et Log Laplace asymétriques. En utilisant les paramètres α et β des lois, quatre groupes de distributions ont été identifiés.

38E.A. Hajek et al. (2010) font l’analyse de la charge de fond, des suspensions et des dépôts d’étiage de trois rivières du Nebraska. Les sédiments transportés sont mieux décrits par une distribution Log-hyperbolique et les dépôts d’étiage sont mieux décrits par des mélanges de distributions. Les paramètres des lois hyperboliques sont différents pour les rivières, que ce soit pour la charge de fond ou pour les suspensions. Les échantillons de charge de fond ont des modes plus élevés et une asymétrie positive alors que les suspensions ont des modes plus faibles et une légère asymétrie. Dans les trois rivières, les dépôts d’étiage comprennent toutes les classes de tailles (< 0,02 mm).

  • 9 La méthode de G.S. Visher (1969) montre là sa limite. De la même manière J. Schlee et al. (1965) n’ (...)

39Le littoral de Mayotte a été étudié (Goett, 2011) et à M’tsamoudou, des dépôts de paléo-tsunamis identifiés (échantillons A, B1, B2). L’échantillon (Inc) n’a pu être défini sur le terrain, ce peut être une plage soulevée ou un paléo tsunami ; la plage actuelle a été échantillonnée. Sur la fig. 4, les courbes granulométriques cumulées sont très voisines et ne permettent pas de juger de la genèse des dépôts9. L’ajustement de plusieurs distributions a été réalisé : les lois Normales et Log Normales ne s’appliquent pas à ces échantillons. Les résultats numériques sont consignés dans le tableau 3.

40La valeur de l’indice Ncrit indique que seul le mélange de deux lois Log Laplace asymétrique décrit correctement les populations. Le paramètre de mélange p est fort pour la plage : 74 % pour la population fine et 26 % pour la population grossière qui remanie probablement les dépôts anciens A, B1, B2, et Inc ; p est faible pour tous les autres.

41Sur la fig. 4, les valeurs des paramètres calculés (α1, β1, α1, α2, β2, α2) font apparaître nettement que l’échantillon inconnu Inc a des valeurs proches de celles des dépôts de paléo tsunamis A, B1, B2 alors que la plage actuelle est très différente. La lecture des paramètres α1, β1, α2 et β2 aboutit à la même conclusion (tableau 3).

Tab. 3 – Échantillons de M’Tsamoudou ; la valeur de Ncrit est la plus élevée dans le cas bi modal.
Tab. 3 – Parameters from M’Tsamoudou samples; Ncrit is maximum for the bimodal log skew Laplace.

Paramètres

A

B1

B2

Plage

Inc

Log Hyperbolique

µ

-0,413

-0,188

-0,272

-1,827

-0,443

d

0,064

0,075

0,039

0,000

0,023

ϒ

2,808

6,391

2,503

1,571

4,929

ϕ

1,426

1,165

1,278

1,091

1,646

Ncrit

57,1

96,4

107,7

295,1

16,3

Log Laplace asymétrique

µ

-0,429

-0,219

-0,275

-1,827

-0,447

β

0,374

0,176

0,405

0,636

0,206

α

0,705

0,872

0,786

0,917

0,608

Ncrit

60,8

105,4

113,1

301,1

16,9

Mélange 2 Log Laplace asymétrique

µ1

-6,736

-6,221

-6,050

-2,012

-6,380

β1

3,226

2,260

4,123

0,475

3,973

α 1

1,310

1,303

1,515

0,391

1,531

p

0,026

0,049

0,044

0,739

0,032

µ2

-0,540

-0,435

-0,462

-0,179

-0,516

b2

0,413

0,280

0,495

0,169

0,226

a2

0,510

0,521

0,504

3,127

0,440

Ncrit

2 130,0

1 032,0

2 907,0

4 134,0

1 788,0

Fig. 4 – Mayotte, M’Tsamoudou (A, B1, B2, plage, Inc).
Fig. 4 – Mayotte, M’Tsamoudou (A, B1, B2, plage, Inc).

Fig. 4 – Mayotte, M’Tsamoudou (A, B1, B2, plage, Inc).Fig. 4 – Mayotte, M’Tsamoudou (A, B1, B2, plage, Inc).

Trois dépôts de tsunamis (A, B1, B2), la plage et un dépôt littoral inconnu (Inc). Les courbes cumulées obtenues au Coulter (0,04 µm – 2000 µm) ne différencient pas l’origine des échantillons. Une loi bimodale Log-Laplace asymétrique à six paramètres oppose la plage (ligne) aux quatre autres (histogrammes) ; Y = valeur des paramètres, l’abscisse est dans le sens probable du temps.
Three tsunamis sediments (A, B1, B2), the beach, and an unknown deposit (inc). The cumulative curves obtained with a Coulter (0.04 µm – 2000 µm) cannot identify the origin of deposits. The bimodal log-skew Laplace distribution with six parameters indicates that the beach (line) is different from the four others (histograms); parameter values on Y axis, parameters on X-axis mimics the time.

Données de H. Goett (2011).
Data from H. Goett (2011)

Intérêt, signification, et choix des lois logarithmiques

42R.A. Bagnold (1937, 1988), le premier, a proposé de représenter une courbe granulométrique de sables en fonction du logarithme du diamètre des grains et du logarithme de la fréquence des grains. Il l’a montré (fig. 1) en superposant une courbe gaussienne à une dune : la seconde représentation donne une parabole pour la courbe gaussienne et deux segments de droite pour la dune. Cette double transformation permet 1) de diviser la courbe en deux segments linéaires qui se rejoignent à la taille modale, 2) de montrer l’importance des extrémités de courbe (petites tailles, grandes tailles) et 3) d’interpréter séparément les dynamiques d’érosion et d’accumulation. L’intérêt d’une double représentation logarithmique (tailles, fréquences) est que la lecture des différentes lois y est très claire, les différentes lois donnant les résultats présentés dans le tableau 4.

Tab. 4 – Représentation graphique des lois statistiques en sédimentologie.
Tab. 4 – Graphical sketch of statistical laws used in sedimentology.

Log-normale

(µ, σ2)

Log-hyperbolique

(α, β, δ, μ)

Log-Log

Laplace asymétrique

(α, β, μ)

Une parabole

Une hyperbole

Une droite

Deux droites

Dynamique sédimentaire et signification des distributions

Lieu et temps de la sédimentation

  • 10 L’application de la loi de Stokes dans les granulométries réalisées à la pipette de Robinson ou à l (...)

43Un échantillon est un corps tridimensionnel ; le sédimentologue expérimenté l’aura finement prélevé dans un banc mince et unique. Les distributions statistiques s’appliquent donc à des « volumes minces ≈ surfaces * faibles épaisseurs ». Entre un échantillon, un banc et un affleurement, de nombreux temps et échelles de temps se succèdent et se mêlent. Même si une variable temporelle n’est pas explicite dans les équations [1-5], la durée de la sédimentation transparaît dans la forme de la courbe granulométrique. Pour un sédiment éolien, les sables grossiers déposés en premier ont perdu (par déflation) les particules fines contemporaines de leurs dépôts. Les sédiments fins qui les entourent sont déposés ultérieurement. Dans de l’eau peu agitée, et à l’échelle de la sédimentation d’un échantillon, les sables grossiers se déposent en premier puis c’est au tour des éléments plus fins jusqu’aux argiles10. Néanmoins, lors d’une dynamique turbulente, le dépôt peut se faire simultanément pour des tailles variées. Il est donc parfois judicieux d’approcher le mécanisme de dépôt par le temps de la sédimentation (fig. 4).

Choix de lois adaptées aux sédiments

44Distribution statistique de grains et échantillons sédimentaires, ces deux thématiques peuvent être reliées par des représentations probabilistes ou physiques ou un mélange des deux. Les travaux sur la contrition des sables et galets au cours de leur transport ainsi que l’évolution des sédiments amont-aval ou le long d’un littoral sont anciens (Daubrée, 1879 ; Krumbein, 1941 ; Leliavsky, 1955 ; Kuenen, 1956 ; Scheidegger, 1961…). Dans les rivières et sur les plages, le tri granulométrique vers l’aval diminue la taille moyenne et la variance logarithmique.

  • 11 Entre les deux extrémités de la droite, le mécanisme de dépôt est le même quelles que soient les ta (...)
  • 12 La surface topographique est décrite par des processus fractals de deux types : auto-similaires et (...)

45L’augmentation exponentielle du nombre des grains lorsque la taille diminue implique que ces données soient représentées par une droite (en log-log) ; S. Leliavsky (1955) a montré avec les galets du Rhin qu’il en était de même pour la relation entre le log (poids) et le log (distance parcourue). Dans ce cas, ce type de loi de puissance n’a pas de mode : il n’y a donc pas de valeurs ou de classes de valeurs qui émergent de la série. La mise en place se fait par un processus auto-similaire11 dans lequel le mécanisme élémentaire est l’accumulation de chocs aléatoires à courte distance. Décrit par P. Bak et al. (1987) et P. Bak (1996), il porte le nom d’auto-organisation critique (SOC, Self Organized Criticality). C’est un processus fractal12. En plan, un processus semblable existe lorsque la banquise se fracture et libère la glace de mer (Weiss, 2001 ; Rampal, 2008) ; au cours du déplacement par le vent et les courants marins, l’accumulation des chocs arrondit les growlers, les fait tourner et cela produit une double invariance d’échelle, spatiale et temporelle (Chmel et al., 2007). Ce processus a été observé en 3D dans des moraines de fond (LeB Hooke et Iverson, 1995) ou la fracturation sous-glaciaire sans dilatation produit des sédiments avec une dimension fractale ≈ 2,9 ; une lave torrentielle a les mêmes caractéristiques et a une dimension fractale de 2,8 alors que la fracturation pure aurait une dimension de 2,6 ± 0,11. Les auteurs mettent sur le compte de la teneur en fines les valeurs > 2,6. Dans un milieu meuble de granulométrie variée, soumis à une contrainte, celle-ci déplace les petits grains ou les casse.

46La contrainte granulaire la plus forte est réalisée lorsque deux particules de même taille sont jointives. La rupture de l’une des particules libérera la contrainte. Maintes fois répété, ce processus aura tendance à créer une organisation spatiale dans laquelle les grains de même taille seront dispersés. Une telle séparation spatiale répartit uniformément la contrainte dans le volume et assure une « protection » maximale pour chaque particule. L’apparition d’une contrainte susceptible de fracturer les grains est alors réduite.

  • 13 Du point de vue géomorphologique, la « préparation des sédiments » recouvre toutes les transformati (...)

47La rupture aléatoire d’une distribution de particules originelles donne une distribution Log-Normale (Kolmogorov, 1941), qui relie la masse des grains au log (taille). L’application montre que cette loi est souvent inadaptée en sédimentologie : cette loi ne serait à conserver que pour l’étude de la « préparation des sédiments »13 (gélifraction, fragmentation...) ou pour des sédiments et sols peu évolués.

48Les distributions Gauss-Normale ou Log-Normale ont un mode mais cette forme s’oppose à la croissance exponentielle continue du nombre de grains avec la décroissance des tailles. Dans ce cas, l’utilisation de la distribution Log-hyperbolique est préférable car elle a un mode (ou zone de transition au diamètre modal) et les deux segments de droite peuvent être interprétés comme la combinaison de deux lois puissance, deux processus auto-similaires, l’un contrôlant les tailles < µ, l’autre les tailles > µ.

49La loi Log-hyperbolique (Barndorff-Nielsen, 1977 ; Barndorff-Nielsen et al., 1982) est mieux adaptée à la sédimentologie : elle possède 4 paramètres mais elle est numériquement très instable et donne jusqu’à 30 % de résultats incohérents (Christiansen et Hartman 1988). Notons que O.E. Barndorff-Nielsen et C. Christiansen (1988) avaient proposé une loi de puissance pour chacun des segments de la loi log hyperbolique mais n’en avaient pas tiré de conclusion sédimentologique. Cependant, ils ont délimité les zones d’accumulation et d’érosion dans le diagramme triangulaire χ et ζ : les formes d’érosion se trouvent vers les χ croissants, les formes de sédimentation vers les χ décroissants (fig. 3). Dans ce travail, les auteurs déterminent deux domaines « erosion » et « deposition ». En fait, les deux domaines sont en accumulation : si le second correspond bien à la zone de matériel fin et d’accumulation absolue, le premier est le domaine d’existence de pavage, donc d’accumulation relative appauvrie en fines. En outre, ces auteurs appellent les paramètres : ν (typical grain size) et τ (sorting) ; si le premier nom est correct, le second nous semble ambigu car dans la dune étudiée, les échantillons les plus fins (τ fort) sont sous le vent, ont effectivement été déplacés et ont un « sorting » faible ; les échantillons les plus grossiers (τ faible) sont au vent, au pied de la dune dans une zone de déflation. Le τ « sorting » fait simultanément référence à l’échantillon, à la dune, et à la dynamique sédimentaire. L’année suivante, O.E. Barndorff-Nielsen (1989) s’intéresse à la description numérique de la texture de la surface car la rugosité de surface a un rôle dans la saltation des grains et la variation de leur distribution spatiale et temporelle. Par sa forme, ses quatre paramètres et son aptitude à décrire des distributions symétriques ou asymétriques, la loi Log-hyperbolique caractérise correctement les distributions uni-modales (Hajek et al. 2010).

50La loi Normale-inverse Gaussienne a un domaine de validité plus restreint. M. Sorensen (2006) fait remarquer qu’elle serait sensible à des effets de tris locaux qui perturberaient l’effet « fragmentation », qu’elle ne s’applique pas dans le cas pluri-modal, mais à l’opposé, qu’elle a l’avantage d’être la seule à s’appuyer sur un modèle physique consistant.

51La loi Log Laplace asymétrique 1) a trois paramètres, 2) a les avantages de la précédente, 3) empiriquement, donne de bons résultats et 4) atout supplémentaire, est relativement simple à calculer.

52Pour un échantillon dont les tailles croissent de xmin à xmax, la taille modale µ indique le renversement des processus sédimentaires. Dans le temps, un premier processus auto-similaire de pente β décrit la mise en place des sédiments entre xmax et µ ; un second processus fractal décrit la mise en place des sédiments entre µ et xmin avec une pente α.

Tab. 5 – Synoptique des lois utilisables en sédimentologie.
Tab. 5 – Synthesis of statistical law used in sedimentology.

Paramètres

Interprétation des pentes

2 (µ,σ2)

Symétrique

1 mode ≈ tri

Symétrie du processus

autour du mode

2 (µ,σ2)

Asymétrique

1 mode ≈ tri

Asymétrie du processus

autour du mode

1 pente

1 Processus auto-similaire (fractal)

4 (α, β, δ, µ)

Asymétrique

1 mode sépare les processus

Processus 2 fractal

Processus 1 fractal

4 (α, β, δ, µ)

Asymétrie < 0

3 (α, β, µ)

Asymétrique

Processus 2 fractal

Processus 1 fractal

Ou mélange de Log-Normales

Processus 1 = dépôt des grandes tailles en premier. NB : rôle opposé du mode ; 1) le tri granulométrique se fait autour du mode (Laplace-Gauss) ; 2) le mode sépare deux processus.
Process 1 = coarse size sedimentation. NB: note the opposite role played by the mode; 1) sorting around the mode (Laplace-Gauss): 2) the mode between two opposite processes.

53Pour ce type de sédimentation, on peut proposer le schéma qualitatif suivant. En 3D et dans un fluide dense et turbulent, le dépôt se fait en deux phases : la chute d’un élément grossier non sphérique crée de la turbulence autour de lui, ce qui éloigne les éléments de même taille ; leur dépôt serait spatialement équidistant. Les éléments plus fins et de même taille suivent le même processus et se déposent de manière équidistante comme les précédents. La turbulence généralisée entraîne les grains de taille plus fine, qui sédimentent « simultanément » un lit de matériaux de tailles µ < x < xmax et de pente β (cf. note 11) ; tout se passe comme si le milieu turbulent et fractal perdait brutalement son eau. La seconde phase du dépôt de µ à xmin et de pente α serait la conséquence de la turbulence créée par l’interaction entre le courant chargé de sédiments fins et la rugosité des sédiments plus grossiers déjà déposés. Les sables très grossiers et les argiles fines, dont l’abondance et les temps de sédimentation sont différents, peuvent ne pas suivre les pentes des droites α et β. Dans le domaine sédimentaire, la pente β de la droite log-log est donc la représentation graphique de la contraction entre un volume 3D (à distribution fractale) et un échantillon volumique de « surface mince » à distribution fractale. La pente α est plus classiquement liée à un écoulement turbulent sur une surface rugueuse qui ralentit le fluide et piège les fines.

Le mode et le tri granulométrique

54Ces deux concepts sont associés lorsque la loi LG s’applique ; dans les autres cas, comme nous venons de le voir, la forme de la courbe autour du mode a l’intérêt d’indiquer tout autre chose que le tri granulométrique.

Sédiments et distributions statistiques : sommes ou mélanges

  • 14 Ceci avait été montré par le professeur J. Tricart ainsi que par M. Mainguet-Michel (1966) pour le (...)

55Nombreux sont les sédiments qui ont des sources d’origines variées et sont de ce fait des assemblages hétéroclites de matériaux. Géomorphologiquement, ce sont des mélanges ; statistiquement, ces granulométries correspondent soit à des sommes, soit à des mélanges de lois de distributions (tab. 5). Pour les mélanges, deux populations gaussiennes ne donnent pas une population gaussienne. Cette question ne se pose pas pour les NiG. Un échantillon de dune, de plage, un banc alluvial et, a fortiori, un matériel morainique sont composés de l’accumulation de grains non sphériques de minéralogie variées, parfois poly-minéraux et de masses volumiques différentes ; certains minéraux de grande taille comme les micas peuvent flotter14. Dans ces conditions, ce type de sédiment doit être décrit par un mélange multimodal.

Tab. 6 – Un sédiment naturel peut-il être gaussien ?
Tab. 6 – How Gaussian could be a natural sedimentary rock?

Sommes et mélanges

Laplace-Gauss

Hyperbolique

NiG

Somme

de distributions

Laplace-Gauss

Autre

NiG

de sédiments

Sans objet en sédimentologie

Mélange

de distributions

Mélange multi modal

Sans objet

de sédiments

56Si macroscopiquement un sédiment est gaussien, cela signifie qu’il est formé par la somme à l’échelle microscopique d’un grand nombre de distributions gaussiennes car du point de vue statistique, la somme de deux variables gaussiennes reste une variable gaussienne. La distribution NiG a la même caractéristique, la somme de deux distributions NiG est une NiG, mais ce n’est pas le cas de la somme des distributions hyperboliques. Si la somme de poudres peut se concevoir en métallurgie, en chimie ou en synthèse de médicament, en sédimentologie, il n’y a aucune raison pour qu’un échantillon soit la somme de deux ou plusieurs distributions gaussiennes parfaites. Les sédiments montrant des distributions bimodales ou multimodales ne sont probablement que des mélanges non gaussiens.

Conclusions

57Compte tenu des restrictions posées en introduction, toute caractérisation statistique de sédiments fins implique de choisir correctement sa loi de distribution ; S. Kotz et al. (2001) le disent à leur manière en citant un auteur ancien : « Wilson emphasizes that it is important to examine the actual data for the purpose of determining the proper statistical treatment », et « it is by no means safe to rush ahead and apply the second law of Laplace or the various extensions of it developed by the Scandinavian School on the one hand (Gram, Charlier) or the (British) Biometric School (Pearson, Yule) on the other ».

58La loi LG a été utilisée en sédimentologie sans que les utilisateurs aient précisé les conditions physiques de sédimentation, et leurs interprétations étaient les mêmes pour x < µ ou x > µ, ni vérifié si les extrêmes fins et grossiers étaient correctement ajustés.

59L’observation des courbes et des ajustements de lois de distributions sont de peu d’aide lors de l’interprétation génétique des dépôts. Au contraire, c’est le contexte du dépôt – seul – qui peut fournir les éléments génétiques de l’explication et orienter le choix de la loi.

60On retiendra 7 points essentiels :

  • Les indices semi-empiriques des auteurs « classiques » : n’étant que des versions simplifiées et manuellement calculables des moments de la loi Laplace-Gauss, ils n’ont qu’un intérêt, celui de permettre la comparaison entre des résultats anciens et actuels.

  • Un sédiment inconnu à distribution uni-modale symétrique doit être décrit par la loi Laplace Gauss.

  • Un échantillon non trié, non sédimenté à distribution uni-modale asymétrique, qui est une racine d’altération (arène...), doit être décrit par la loi Log Normale.

  • Un sédiment trié, uni-modal asymétrique, doit être décrit par les lois Laplace ou Log Laplace asymétrique.

  • Un sédiment trié, uni-modal d’asymétrie négative, dans lequel les grains ont une « histoire » différente (trajectoires, chocs, durée du trajet, ...) au cours du temps s’étudiera par une loi Normale-Inverse Gaussienne.

  • Les sédiments bimodaux asymétriques doivent être décrits par les lois Log Laplace ou Hyperbolique / Log Hyperbolique.

  • Les sédiments bimodaux ou multimodaux doivent être décrits par des mélanges de lois.

61Les lois de probabilité – seules – n’ont que peu d’intérêt en sédimentologie ; les lois qui peuvent s’appuyer sur des modèles physiques (cf. NiG) se rapprochent des processus sédimentologiques et devraient être développées. La mise en relation des paramètres des lois (cf. Passega, 1964), des moments (Laplace-Gauss), des paramètres α, µ, β, δ, des lois hyperboliques et Log-hyperboliques ou des paramètres α, µ, β, des lois (Log-Laplace asymétrique) apporte de meilleurs résultats.

62La mise en relation des sédiments avec des lois de distribution est une thématique de recherche à elle seule et de nombreux travaux sont encore nécessaires pour obtenir une méthodologie précise d’approche de l’analyse des sédiments.

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Annexe

English abridged version

In a seminal work, R.A. Bagnold (1937) noticed that the logarithm of the density function of distribution of the logarithm of the grain size in a dune deposits looks like more a hyperbola than a parabola. This observation was extended by the Danish mathematician O.E. Barndorff­Nielsen (Barndorff­Nielsen, 1977; Barndorff­Nielsen et al., 1982; Barndorff­Nielsen and Christiansen, 1988; Christiansen and Kristensen, 1988; Barndorff­Nielsen, 1989). With his collaborators, he introduced the hyperbolic distribution in which the logarithm of the density function is a hyperbola, and he applied the method to sand dunes, alluvial and tidal deposits. The British mathematician, N.R.J. Fieller et al. (1984), proposed to develop the Log skew Laplace distribution. In a series of papers (Flenley et al., 1987; Fieller et al., 1988, 1990, 1992), these distributions had shown to give a good description of a large variety of sediments. These methods are far from the statistical tools used in sedimentology and constructed on the moments of the Laplace-Gauss-Normal distribution.

This paper is organized in three, mainly chronological parts. The basement is the Laplace-Gauss equation, the second is a description of the empirical coefficient and indexes developed by P.D. Trask (1930), D.L. Inman (1952), R.L. Folk and W.C. Ward (1957), A. Cailleux (1961), and G.M. Friedman (1961). The last part is built on R.A. Bagnold (1937) work and the development of the hyperbolic asymmetric distributions. Some examples and discussions conclude the paper.

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Notes

1 P.S. Laplace a publié la 1ere loi des erreurs en 1774 et la seconde en 1778. Kotz et al. (2001) « in spite of his well-known precocity [K.F. Gauss] had probably not made his discovery before he was two years old ». Loi Normale est un nom mal choisi, « il laisse croire que les autres lois sont anormales » (Saporta, 1990).

2 Gradué en x en logarithme du diamètre et en y en distribution gaussienne cumulée.

3 Les tableurs habituels (Excel, Gnumeric, Lotus 123, Open Office...) sont aptes au calcul des moments ; on peut y associer les programmes de statistiques du commerce. Un logiciel comme GRADISTAT (Blott et Pye, 2001) permet en outre de calculer les indices de R.L. Folk et W.C. Ward (1957).

4 En géomorphologie, les pavages (pavement, armor layer, steinpflaster) donnent les ergs, les sandurs, les fonds de lits alluviaux graveleux ou pavés de blocs…

5 Travaillant dans une soufflerie, autour d’une trappe à sédiment, la « saltation » fait référence au dépôt à l’aval, c’est-à-dire une dynamique éolienne d’accumulation absolue de sables fins ; à l’amont, le « creep » est lié au déplacement de grains grossiers résiduels (NB : ce « creep » n’a aucune relation avec la reptation des versants).

6 Cette appellation sera précisée plus tard.

7 O.E. Barndorff-Nielsen et C. Christiansen (1988) précisent « χ and ξ express, respectively, the skewness and the kurtosis – in the qualitative sense of these terms – of the hyperbolic distribution ».

8 S. Kotz et al. (2001) montrent qu’il a été publié 6 expressions numériques de cette loi asymétrique avec de 1 à 3 paramètres ; ceci est important car cela signifie qu’il peut y avoir aussi plusieurs écritures possibles pour les processus physiques sous-jacents. Ici, le premier terme est une constante : seuls α et β varient.

9 La méthode de G.S. Visher (1969) montre là sa limite. De la même manière J. Schlee et al. (1965) n’ont pu séparer plage et dune.

10 L’application de la loi de Stokes dans les granulométries réalisées à la pipette de Robinson ou à l’aide de densimètres utilisait cette aptitude : quelques secondes pour les sables et quelques heures pour les argiles.

11 Entre les deux extrémités de la droite, le mécanisme de dépôt est le même quelles que soient les tailles de grains : c’est une invariance d’échelle.

12 La surface topographique est décrite par des processus fractals de deux types : auto-similaires et isomorphes lorsqu’ils sont en plan horizontal (coordonnées x,y) et auto-affines en coupe (x,z ; y,z ; Matsushita et Ouchi, 1989 ; Gouyet, 1992 ; Turcotte, 1992). Plus généralement, en géomorphologie, la gravité oriente les déplacements de masse (eau, sédiments) et les processus auto-affines sont les plus fréquents.

13 Du point de vue géomorphologique, la « préparation des sédiments » recouvre toutes les transformations subies par un affleurement rocheux afin de produire un stock de matériaux mobilisable par un agent géomorphologique (eau, vent, glace…).

14 Ceci avait été montré par le professeur J. Tricart ainsi que par M. Mainguet-Michel (1966) pour le rio Motatán (Vénézuela).

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Table des illustrations

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Titre Fig. 1 – A : Une dune (trait continu) et une courbe gaussienne (pointillé) sont très proches. B : En fonction du logarithme des tailles et du logarithme des fréquences, les deux courbes sont très différentes.Fig. 1 –A: Gaussian probability curve (dotted) and sand-dune (line) linear scale; we note few differences between the curves; B: Log-Log scale; the two lines intercept on one point µ and are separated from the dotted curve.
Crédits D’après R.A. Bagnold (1937).After R.A. Bagnold (1937).
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Titre Fig. 2 – Interprétation géométrique de la loi hyperbolique (logarithme de la densité de probabilité en fonction du logarithme de la taille).Fig. 2 – Parameters of the hyperbolic distribution (χ value against logarithm of probability density, geometrical interpretation).
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Titre Fig. 3 – Triangle hyperbolique. Domaine des paramètres invariants χ (asymétrie) et ξ (aplatissement). Pour χ = 0, distributions symétriques de Laplace à Gauss ; pour χ ≠ 0, asymétrie positive ou négative. « Érosion-sédimentation » adapté de O.E. Barndorff-Nielsen et C. Christiansen (1988) ; χ augmente avec le déficit en fines et diminue avec la sédimentation χ < 0).Fig. 3 – The hyperbolic shape triangle. Domain of invariant parameters χ (skewness) and ξ (kurtosis). For χ = 0, symmetric distributions from Laplace to Gauss; for χ 0, positive or negative asymmetry. “Erosion-sedimentation” adapted from O.E. Barndorff-Nielsen and C. Christiansen (1988): χ increases with coarser sediment and decreases with sedimentation χ < 0.
Crédits Adapté de M. Sørensen, 2006.Adapted from M. Sørensen, 2006.
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Titre Fig. 4 – Mayotte, M’Tsamoudou (A, B1, B2, plage, Inc).Fig. 4 – Mayotte, M’Tsamoudou (A, B1, B2, plage, Inc).
Légende Trois dépôts de tsunamis (A, B1, B2), la plage et un dépôt littoral inconnu (Inc). Les courbes cumulées obtenues au Coulter (0,04 µm – 2000 µm) ne différencient pas l’origine des échantillons. Une loi bimodale Log-Laplace asymétrique à six paramètres oppose la plage (ligne) aux quatre autres (histogrammes) ; Y = valeur des paramètres, l’abscisse est dans le sens probable du temps. Three tsunamis sediments (A, B1, B2), the beach, and an unknown deposit (inc). The cumulative curves obtained with a Coulter (0.04 µm – 2000 µm) cannot identify the origin of deposits. The bimodal log-skew Laplace distribution with six parameters indicates that the beach (line) is different from the four others (histograms); parameter values on Y axis, parameters on X-axis mimics the time.
Crédits Données de H. Goett (2011).Data from H. Goett (2011)
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Pour citer cet article

Référence papier

Jean-Luc Mercier, « Indices granulométriques et lois de distributions », Géomorphologie : relief, processus, environnement, vol. 19 - n° 4 | 2013, 379-392.

Référence électronique

Jean-Luc Mercier, « Indices granulométriques et lois de distributions », Géomorphologie : relief, processus, environnement [En ligne], vol. 19 - n° 4 | 2013, mis en ligne le 15 décembre 2015, consulté le 26 mars 2017. URL : http://geomorphologie.revues.org/10357 ; DOI : 10.4000/geomorphologie.10357

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Auteur

Jean-Luc Mercier

Université de Strasbourg – UFR de Géographie – 3, rue de l’Argonne – 67000 Strasbourg – France (jlm@unistra.fr).

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Droits d’auteur

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